Решение математических задач: понятие, виды, правила, схемы

Начиная со школьной и скамьи и заканчивая высшим образованием, на каждой ступени и этапе погружения в специальность каждый учащийся сталкивается с освоением математической науки, без которой немыслима ни одна деятельность. Самым распространенным методом обучения и освоения пройденного теоретического материала, его преобразования в практические навыки является решение математических задач. Именно о них пойдет речь в текущей статье.

Понятие, функции и особенности математических задач

Задача в самом простом смысле слова воспринимается пользователями и студентами, как проблема, требующая изучения и решения. Но в математическом поле данная категория является более сложным и комбинированным элементом.

Математическая задача представляет собой вопрос, требующий тщательного анализа и следования конкретной научной траектории для его разрешения. Решить задачу – означает разобраться в ее деталях и выработать или подобрать определенную траекторию для восполнения пробелов и получения окончательного результата. Притом конечный итог будет предельно точным, выраженным в числовом виде или конкретном ответе.

Математическая задача – параметр целенаправленный. Цель будет выражена в вопросе или проблеме, требующей решения (ожидаемый или требуемый результат). Также целенаправленность проявляется в том, что для поиска конечного результата и ответа на вопрос студенту придется вырабатывать или пользоваться определенной комбинацией действий, применением действующих канонов и законов, формул и схем.

Математическая задача является объектом мыслительной деятельности учащегося. Это не просто аргументы, данные и намеченный вопрос. Каждая математическая интерпретация ситуации будет иметь четкую структуру. Она включает в себя следующие основные элементы:

• Условие, от есть набор изначально известных параметров и данных, описывающих ситуацию или формирующих определенную модель для анализа. В данном случае будет определен предмет и объект исследования, обозначены границы и поставленный четкий вопрос-цель: что нужно определить, установить, найти и пр.

Условие математической задачи состоит из параметров дано, то есть известные аргументов, фактов, точных сведений. Все они будут лежать в рамках конкретной темы или единой (однородной) плоскости. Заявленные данные будут взаимосвязанными и/или взаимозаменяемыми.

• Обоснование. Данный параметр задачи предполагает наличие связи между теоретическими основами в рамках математической науки (то есть правила, каноны, обозначения и пр.) и практическими действиями, необходимыми для решения конкретного задания. Обоснование заключается в том, что учащийся должен определить примерную траекторию действий, последовательность мероприятий для получения конечного результата.

Обоснование математической задачи ориентировано на подбор методов, схем, формул, поиск недостающих аргументов, то есть построение конкретной траектории мероприятий, ориентированную на достижение намеченной цели. В данном случае испытуемый должен хорошо владеть теорией, разбираться в терминах, темах, понимать особенности действия и применения конкретных формул. Схем, ограничений и пр.

Обоснование призвано показать связь заданных условий с теоретическими канонами и умение учащегося пользоваться ими.

• Решение. Решение математической задачи представляет собой четкий план действий (обоснованный заранее). Оно основывается на изначально известных данных (дано), дополнительных искомых (недостающих) параметрах и теоретических (научных) аспектах.

Решение математической задачи очерчивается действующими правилами и обосновывается аналитическими операциями (поиск недостающих звеньев, альтернативные показатели и пр.).

Миссия решения – получить точный ответ на поставленный вопрос, то есть достижение цели, получение конечного результата.

• Заключение. Подведение итога и констатация полученного результата. Важно, чтобы констатированный конечный результат совпадал с заявленным требованиям, целью и поставленными условиями. Заключение математической задачи можно быть полным и кратким: первый вариант предполагает подробное описание результатов аналитической и практической деятельности, второй – констатация полученного результата в числовом или текстовом виде (краткий, емкий ответ).

Математические задачи выполняют немаловажные функции в организации и реализации учебного процесса:

• Развивают навыки по «информационной ориентации» и избирательности: навыки по подбору необходимых инструментов, теорий и правил, алгоритмов и формул и пр.;
• Развивают аналитические способности: определение достаточных параметров и аргументов, поиск недостающих звеньев для решения задачи, поиск альтернатив текущим данным (замена и пр.), определение оптимальной траектории для достижения намеченной цели и пр.;
• Прививают универсальность или умение следовать четким регламентам и требованиям: учет ограничений, использование конкретной формулы, следование четким инструкциям (как и когда применять);
• Развивают память и внимание;
• Способствуют развитию критического мышления и творческого подхода: одна и та же задача может быть решена различными путями (более длинными или короткими, с заменой переменных или на основе текущих данных, поиск недостающих аргументов и пр.);
• И пр.

Таким образом, математические задачи содействуют не просто изучению «царицы наук» и ее канонов, но и развитию метапредметных и личностных качеств индивида. Математические каноны и методы применимы в большинстве случаев и считаются самыми точными и надежными. Поэтому редкие исследования обходятся без данных приемов, содействующих решению конкретной проблемной зоны (которая сопоставима с четко спланированной задачей).

Виды математических задач и их особенности

Математическая задача – это не просто набор определенных параметров, описывающих ситуацию и требующих поиска ответа на конкретный вопрос. Данная категория имеет массу разновидностей, каждая из которых специфична и подчеркивает предназначение задания.

Самыми популярными видами математических задач являются:

• По уровню проблемности.

В рамках данного основания выделяют стандартные задачи. Их миссия состоит в изучении, усвоении и закреплении пройденного теоретического материала. Как правило в данном формате учащемуся известны все основные параметры и необходимо лишь грамотно скомпоновать согласно конкретным правилам и математическим канонам.

Также к «проблемным видам» относят обучающие задачи. Они ориентированы на развитие поисковых и аналитических параметров учащегося. В данном случае один или несколько аргументов, необходимых для решения задачи, не известны и требуют дополнительного поиска или выбора альтернативных вариантов.

Еще одной разновидностью математических заданий является проблемная задача. В данном случае «проблема» проявляется в том, что необходимых и достаточных для формирования решения данных недостаточно, то есть среди неизвестных параметров будет насчитываться не один, а нескольких важных компонентов, требующих дополнительной проработки или поиска. При том решающему не всегда достаточно найти нужный аргумент ли параметр, порой приходится комбинировать самые разные правила и учитывать массу ограничений, законов и пр. Проблемные математические задачи носят комбинированный характер и требуют тотального владения понятиями, правилами, формулами и пр.

Специфика математических задач
Разновидность математической задачи	Действие для решения математической задачи	Результаты решения математической задачи
Учебная, стандартная	Закрепление пройденного материала, развитие практических навыков по применению правил и формул	Осознание теоретических аспектов, обозначений, формул и иных научных канонов
Ситуационная, проблемная, сюжетная	Анализ данных и поиск достойных способов решения с учетом достаточности аргументов, текущих условий задачи Подбор комбинации методов решения задания	Осознание и понимание математических правил и особенностей, развитие информационной ориентации по предмету Развитие навыков по моделированию ситуации и поиску оптимального решения
Графическая	Использование в ходе решения специальных графиков и схем для поиска конечного результата	Развитие навыков по преобразованию данных в графический вид, умение работать с чертежами и графиками (аналитика)
Текстовая	Понимание и осознание текущий условий задачи, преобразование информации в математический вид, подбор подходящего инструментария	Развитие навыков по выделению существенных моментов и условий, преобразование информации в математический вид, обоснование хода решения
Логическая	Вникание в задание, подбор инструментов и схем для ее решения с учетом изначально известных параметров	Развитие творческого подхода и креативного мышления при решении математических задач с абстрактными данными

• По структуре деятельности.

По данному основанию выделяют задачи, которые решаются на основе конкретных действий и полагаются на определенный тип или вид деятельности. В числе наиболее популярных вариантов математических заданий выделяют три вида.

Первый – репродуктивный, предполагающий использование готового или известного механизма, схемы по установлению связующих элементов и выведению общего итога. В данном случае требуется лишь подобрать нужный инструмент или схему и применить ее.

Второй – продуктивный, базирующийся на проявлении творческого потенциала и полученных знаний для поиска искомого элемента. Здесь важно не просто подобрать подходящую траекторию, правила, схемы, но и проявить инициативу и творческую активность, знания из смежных тем для ее реализации: требуется найти дополнительный или недостающий аргумент, факт, значение и пр.

Третий – эвристический, основанный сугубо на креативном мышлении и творческом подходе, фантазии и знаниях учащегося, умении самостоятельно вырабатывать схему мероприятий, подбирать и комбинировать методы и инструментарий, совмещать действующие правила и аналитические данные.

• В зависимости от содержания и изначальных условий задания.

Данная ниша основана на доминировании определенных математических операций и аргументов в условиях задания. Наиболее распространёнными видами считаются арифметические (на реализацию расчетных операций с акцентом на простейшие математические операции вычисления), алгебраические (предполагающие вычисление и поиск недостающих аргументов, неизвестных параметров посредством уравнений, неравенств), геометрические (в основе которых лежит определение или построение геометрических фигур, площадей и параметров и пр.), тригонометрические (основанные не преобразованиях и трансформациях параметров, использовании сугубо математических параметров и терминов и пр.).

Также в рамках рассматриваемого основания можно выделить доказательные задачи, в которых автор проверяет подлинность, точность или корректность заявленного суждения, вопроса.

• Разновидности математических заданий по содержанию.

В рамках этого сценария принято выделять текстовые задачи, которые описывают конкретную ситуацию, факторы и аргументы в простой словесной форме, то есть посредством текста. В иных видах представляют лишь обозначения и числовые данные.

Вторым вариантом задач по содержанию выступают сюжетные или ситуационные, описывающие конкретную сугубо проблемную точку или обстоятельство, в которой необходимо определить траекторию решения, обосновать ее и показать эффективность на основе конечного результата. В данном случае уместна фабула, проявление креативности, творческого подхода, но с акцентом на математические каноны.

Третий вариант – абстрактный. К этой категории относят сугубо предметные задачи, посвященные определенной теме, разделу, где требуется комбинированный подход и учет множества требований, правил ограничений и нюансов.

Указанные виды математических задач не единственные в своем роде, но считаются самыми популярными в системе отечественного образования зарекомендовавшими себя с положительной стороны.

Классическая схема решения математических задач

Каждая математическая задача предполагает учет двух ключевых факторов:

• Текущие условия, параметры и вопросы, то есть условия «дано»;
• Подбор подходящих условиях и описанной в задаче ситуации набор методов, инструментов, формул и схем действий для получения конечного результата и ответа на целевой вопрос.

То есть независимо от вида, уровня сложности решение математической задачи немыслимо без банальных действий со стороны учащегося.

Этапы решения математических задач
Этап	Действие	Результат
Этап 1. Изучение условий задачи	Выделение известных переменных, аргументов, фактов и тенденций Констатация искомого вопроса, элемента	Систематизация данных Формирование условий задачи с учетом специфических обозначений
Этап 2. План решения	Определение этапов и хода решения задачи с учетом располагаемых данных и математических канонов	Выработка четкой траектории по решению задачи: план действий
Этап 3. Решение задачи	Реализация математических операций согласно намеченному плану	Получение конечного результата, ответа на целевой вопрос
Этап 4. Проверка действий и итогов	Анализ хода решения задачи, повторное решение задачи	Проверка корректности и правильности действий и полученных результатов
Этап 5. Оформление	Запись условий и хода решения задачи с учетом математических обозначений и правил	Письменное оформление задачи, хода решения и итогов с учетом общепринятых правил, образцов

Первый шаг на пути к решению математической задачи – вычитка или изучение представленных условий, параметров и основного вопроса. На данной стадии учащемуся предстоит разобраться в следующих нюансах:

• Сперва следует сосредоточиться на условиях задачи и выписать известные элементы с учетом соответствующих обозначений, условий и пр.
• По возможности определить тип задачи, тематические границы, достаточность аргументов, фактов и данных для решения, выявить недостающие «звенья цепи» и пр.;
• Выделить искомый запрос: что именно нужно определить или решить.

Вторым шагом в решении математической модели выступает подбор и выбор инструментов, методов для поиска решения. В рамках этой стадии учащемуся предстоит тщательно спланировать ход решения с учетом теоретических знаний предмета: определить способы поиска и констатации недостающих элементов, выстроить последовательную цепочку действий (этапы решения) и выделить значимые правила законы, формулы и схемы, а затем под намеченный алгоритм подставить располагаемые аргументы и данные, произвести соответствующие математические операции и получить конечный результат.

Реализация второго шага может отличаться, так как он зависит от набора текущих сведений согласно условиям задания, а также типа задачи и тематической предрасположенности. Количество действий и этапов мероприятий зависит от уровня сложности особенностей математической модели и уровня подготовки учащегося (степень владения предметом, ориентация по теме, творческий подход и пр.).

Третий шаг – проверка. Этот этап чаще всего носит формальный и необязательный характер, но именно он позволяет своевременно заметить недостатки, ошибки и исправить их, получить корректный и точны результат, ответ.

Четвертый шаг – предоставление ответа на целевой вопрос. Важно не просто получить численный итог, но и предоставить предельно точный и корректный ответ на поставленный в задаче вопрос.

Пятый шаг – оформление задачи и ее решения с учетом действующих правил и требований. В данном случае важно владеть математическими терминами, обозначениями и уметь грамотно ими оперировать. Оформление математической модели предполагает выделение трех ключевых компонентов: дано (схематическое и символьное обозначение заданных (текущих) условий), решение (поэтапное описание хода решения: вычислительные операции, геометрические фигуры и пр.), ответ (констатация полученного результата и достижения намеченной цели).

Традиционная комбинация по решению математической задачи укладывается в простую схему: прочитай — проанализируй – реши – опиши. Но несмотря на простую трактовку, ее реализация нередко вызывает массу нюансов.

Самые распространенные ошибки при решении математических заданий и задач

Решение математических задач = процесс непростой, требующий немало усилий и знаний. Тотальной концентрации внимания и кропотливости, дотошности. Конечный результат подобных действий – предельно точное, обоснованное значение или высказывание.

Каждая ошибка – следствие конкретного действия или «несовершенного» владения темой, предметом или отдельными математическими категориями и параметрами. Поэтому ключевой причиной всех типичных огрех и неверностей является банальная невнимательность решающего или слабая подготовка.

В решении математических задач встречаются следующие ошибки:

• Некорректное восприятие целевого вопроса, порождаемое поиск нецелевого элемента или выбор некорректной траектории. Данная ошибка возникает, если требования задачи выражены неоднозначно или основное содержание слишком громоздкое и сложное для восприятия, а автор слабо владеет математическими терминами, правилами;
• Отсутствие знаний по дисциплине: непонимание ключевых или базовых правил и законов, терминов и категорий, обозначений и пр. Данная причина служит некорректным оформлением условий задачи, подбором соответствующих методов и инструментов и пр.;
• Пренебрежение отдельными условиями задачи или неучет отдельных элементов, фактов, тенденций и правил. В данном случае автор не понимает необходимость или целесообразность использования отдельных условий и не учитывает их во время поиска подходящей траектории (формулы, схемы и пр.). Чаще всего пренебрежение отдельными аргументами приводит к некорректному плану действий и неверному решению;
• Неправильный выбор методов и инструментов для решения задачи. Данная ошибка чаще всего возникает у тех, кто не понимание, в каких случаях и когда действуют те ли иные подходы, правила, как они меняются при наличии отдельных оснований и факторов и пр. То есть первопричиной огрех становится либо незнание предмета, либо банальная невнимательность;
• Ошибки по ходу решения: вычислительные, аналитические и пр. В этом случае огреха возникает непосредственного при реализации выбранных методов и способов, правил. Они связаны с расчетами анализом данных, концентрацией внимания и пр. Как правило, источниками данных огрех выступает невнимательность или низкий уровень грамотности (подсчет данных), некорректный анализ полученных результатов (на фоне невладения соответствующими правилами или и х неправильного восприятия и понимания) и т.д.;
• Некорректное отображение данных, результатов анализа или хода решения. Рассматриваемая оплошность связана чаще всего с невнимательностью или рассеянностью учащегося, непониманием предмета или темы в целом. Некорректное отображение предполагает неуместное использование терминов, отражение неправильных единиц измерения или неправильное расположение данных (неверное оформление условия и решения задачи).

Таким образом, доминирующая часть ошибок носит формальный характер, а первопричиной их появления выступает банальная рассеянность, или слабый уровень подготовки (невладение азами предмета).

Математика – царица наук, отличающаяся точностью и научной обоснованностью. Поэтому при решении задач в рамках этой дисциплины важно точно следовать действующим канонам и схемам. Только в этом случае гарантирован успех.

Советы по работе с математическими задачами

Совет №1: вникайте в условие задачи и своевременно устраняйте неизвестные и непонятные моменты.

Прочитав условие задачи, важно определить два момента: понятные и непонятные. Первую категорию можно смело выписать, зафиксировать, а вторую – необходимо уточнить, ведь в противном случае решение задания может сильно затянуться или конечный результат окажется некорректным, неверным. Все неясные моменты понятия, формулы необходимо оперативно разобрать, понять. Только при ликвидации пробелов в заданиях решение математической задачи будет простым и осознанным.

Совет №2: используйте только понятные, посильные способы решения (методы, принципы, законы, формулы и операции).

Старайтесь тщательно проработать план решения задачи. Притом лучше всего полагаться на проверенные, привычные или понятные правила и схемы, формулы и инструменты. Если студенту легче понять задание визуально, то можно представить «дано» в виде соответствующей модели или схемы.

Совет №3. Разберитесь с системой обозначения параметров и условий, а также единицами измерения.

Математика – это не просто вычислительные операции. Чтобы решить задачу, важно грамотно ее записать в виде соответствующих знаков, обозначений, символов, формул и схем. Для этого придется изучить все соответствующие категории, обозначения, определить их уместность использования и особенности применения. Важно осознать, что, где, как и когда действует чтобы не допустить ошибок по ходу реализации выбранных правил и разработанного плана.

Совет №4. Не бойтесь альтернатив и оригинальности.

Решение одной и той же задачи порой возможно различными путями. Не стоит пугаться, если ход решения отличается от тех планов, которые выдвинули одногруппники или их большинство. Главное – результат. Он в любом случае будет одинаковым. Но от хода решения может зависеть продолжительность выполнения задания: чем больше этапов, вычислительных и иных операций, тем дольше исследователь будет идти к намеченной цели. Но это не главное. Наиболее существенным является осознание выполняемой работы и ее конечный результат (корректность, точность и обоснованность).

Совет №5. Не бойтесь просить помощи.

У каждого индивида есть определённые слабые места. По статистике, именно с математическими задачами у 4% учащихся возникают проблемы на фоне непонимания предмета. Если задача не поддается решению с нескольких попыток, важно дать организму небольшой перекур, отвлечься и опробовать свои силы снова. Если все попытки оказались безуспешными, то не стоит расстраиваться. Выпишите сложные моменты, непонятные этапы (термины, формулы, вопросы) и обратитесь за разъяснением к понимающим предмет друзьям педагогу или репетитору (тьютору). Главное – не бросать дело по половине пути, а разобраться в нем досконально и усвоить пройденный урок и ошибки.

Совет №6. Не пренебрегайте проверочными действиями.

Результат математической задачи – точное и емкое отражение данных в соответствующей форме. Притом конечный итог математических операций должен предоставлять безоговорочный ответ на поставленный в условии вопрос. Не торопитесь со сдачей материала на проверку. Независимо от того, насколько учащийся убежден в верности всех действий и вычислений, точности результатов, обязательно перепроверьте ход математических итераций и итоги. Порой даже незначительная огреха (описка, некорректное округление) способно исказить итог. Самоанализ – великая штука, которая позволяет своевременно исправить ошибки и убедиться в корректности хода решения и конечного результата.

Таким образом, для грамотного и эффективного решения математических задач важно разбираться в каждой теме и нюансах, понимать и осознавать каждый элемент, обозначение и шаг, следовать четким инструкциям и законам, подключая логику, критическое мышление и предельную концентрацию внимания на полученном задании.